【題目】已知:一次函數的圖象與反比例函數()的圖象相交于A,B兩點(A在B的右側).
(1)當A(4,2)時,求反比例函數的解析式及B點的坐標;
(2)在(1)的條件下,反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P,使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)當A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)時,直線OA與此反比例函數圖象的另一支交于另一點C,連接BC交y軸于點D.若,求△ABC的面積.
【答案】(1),B(1,8);(2)(﹣4,﹣2)、(﹣16,);(3)10.
【解析】
試題分析:(1)把點A的坐標代入,就可求出反比例函數的解析式;解一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組,就可得到點B的坐標;
(2)△PAB是以AB為直角邊的直角三角形,分兩種情況討論:①若∠BAP=90°,過點A作AH⊥OE于H,設AP與x軸的交點為M,如圖1,求得OE=5,OH=4,AH=2,HE=1.證明△AHM∽△EHA,再根據相似三角形的性質可求出MH,從而得到點M的坐標,然后用待定系數法求出直線AP的解析式,再解直線AP與反比例函數的解析式組成的方程組,就可得到點P的坐標;②若∠ABP=90°,同理即可得到點P的坐標;
(3)過點B作BS⊥y軸于S,過點C作CT⊥y軸于T,連接OB,如圖2,易證△CTD∽△BSD,根據相似三角形的性質可得.由A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),可得C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,即可得到.由A、B都在反比例函數的圖象上可得a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),把代入即可求出a的值,從而得到點A、B、C的坐標,運用待定系數法求出直線BC的解析式,從而得到點D的坐標及OD的值,然后運用割補法可求出S△COB,再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB.
試題解析:(1)把A(4,2)代入,得k=4×2=8,∴反比例函數的解析式為,解方程組,得:或,∴點B的坐標為(1,8);
(2)①若∠BAP=90°,過點A作AH⊥OE于H,設AP與x軸的交點為M,如圖1,對于y=﹣2x+10,當y=0時,﹣2x+10=0,解得x=5,∴點E(5,0),OE=5.∵A(4,2),∴OH=4,AH=2,∴HE=5﹣4=1.∵AH⊥OE,∴∠AHM=∠AHE=90°.又∵∠BAP=90°,∴∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠MAH=90°,∴∠MAH=∠AEM,∴△AHM∽△EHA,∴,∴,∴MH=4,∴M(0,0),可設直線AP的解析式為,則有,解得m=,∴直線AP的解析式為,解方程組,得:或,∴點P的坐標為(﹣4,﹣2).
②若∠ABP=90°,同理可得:點P的坐標為(﹣16,).
綜上所述:符合條件的點P的坐標為(﹣4,﹣2)、(﹣16,);
(3)過點B作BS⊥y軸于S,過點C作CT⊥y軸于T,連接OB,如圖2,則有BS∥CT,∴△CTD∽△BSD,∴.∵,∴.∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),∴C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,∴=,即.∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)都在反比例函數的圖象上,∴a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),∴a(﹣2a+10)=(﹣2×+10).∵a≠0,∴﹣2a+10=(﹣2×+10),解得:a=3.∴A(3,4),B(2,6),C(﹣3,﹣4).
設直線BC的解析式為,則有,解得:,∴直線BC的解析式為.當x=0時,y=2,則點D(0,2),OD=2,∴S△COB=S△ODC+S△ODB=ODCT+ODBS=×2×3+×2×2=5.∵OA=OC,∴S△AOB=S△COB,∴S△ABC=2S△COB=10.
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【題目】如圖所示,△ABC中,AH⊥BC于H,E,D,F分別是AB,BC,AC的中點,則四邊形EDHF是( )
A.一般梯形
B.等腰梯形
C.直角梯形
D.直角等腰梯形
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【題目】回答下列問題
(1)問題發(fā)現 如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE,求∠AEB的度數.
(2)拓展探究 如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請求∠AEB的度數及線段CM,AE,BE之間的數量關系,并說明理由.
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【題目】【閱讀材料,獲取新知】
善于思考的小軍在解方程組
時,采用了一種“整體代換法”的解法.
解:將方程(2)變形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5(3)
把方程(1)代入(3)得:2×3+y=5
∴y=﹣1.
把y=﹣1,代入(1)得x=4
∴方程組的解為
【利用新知,解答問題】
請你利用小軍的“整體代換法”解決一下問題:
(1)解方程組:
① ②
(2)已知x,y滿足方程組 ,則x2+4y2與xy的值分別為、 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AC⊥BD,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,依次連接各邊中點得到四邊形EFGH,求證:四邊形EFGH是矩形.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】一次數學測試后,某班40名學生的成績被分為5組,第1~4組的頻數分別為12,10,6,8,則第5組的百分比是( )
A. 10% B. 20% C. 30% D. 40%
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