Question

在正方形ABCD中，CE⊥DF．

（1）如圖1，證明：BE=CF．
（2）如圖2，設(shè)正方形對(duì)角線交點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O猜想：OE與OF之間的關(guān)系．并說(shuō)明理由．
（3）在（2）中，若OE=

5

，F(xiàn)C=1，求正方形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，∠BCD=90°，然后求出∠BCE=∠CDF，再利用“角邊角”證明△BCE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，再由BE=CF，證得△OEB≌△OCF，得出OE=OF；
（3）由△OEB≌△OCF得出∠EOB=∠FOC，得出∠EOF=90°，連接EF，利用勾股定理求得EF，再進(jìn)一步利用BE=CF和勾股定理求得BF，求得結(jié)論．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠CDF，
在△BCE和△CDF中，

∠BCE=∠CDF BC=CD ∠B=∠BCD

，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴BE=CF；

（2）OE=OF；
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，
在△OEB和△OCF中，

OB=OC ∠OBE=∠OCF BE=CF

∴△OEB≌△OCF（SAS），
∴OE=OF；

（3）解：如圖，

連接EF，
∵△OEB≌△OCF，
∴∠EOB=∠FOC，OE=OF=

5

∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，
∴EF=

OE2+OF2

=

10

，
又∵BE=CF=1
∴BF=

EF2-BE2

=3
∴BC=BF+FC=3+1=4；
即正方形的邊長(zhǎng)是4．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，注意理清思路，正確解答．