Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．

（1）求拋物線的解析式：
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM周長(zhǎng)最短？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=3x﹣3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=﹣3，

∴A（1，0），B（0，﹣3），

把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x2+bx+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3

（2）

解：令y=0得0=x2+2x﹣3，解得x1=1，x2=﹣3

∴C（﹣3，0），AC=4

∴S△ABC= ACOB= ×4×3=6

（3）

解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1，

∵A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴MA=MC，

∴MB+MA=MB+MC，

∴當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MB+MC最小，此時(shí)△ABM的周長(zhǎng)最小，

∴連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則M即為滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，

∵直線BC過點(diǎn)B（0，﹣3），C（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴直線BC的解析式y(tǒng)=﹣x﹣3，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣2，

∴M（﹣1，﹣2），

∴存在點(diǎn)M使△ABM周長(zhǎng)最短，其坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積可求得答案；（3）連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，由題意可知A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知MA=MC，故當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MA+MB最小，則△ABM的周長(zhǎng)最小，由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．