Question

如圖，長方形OABC邊BC=4，AB=2．
（1）直線y=kx（k≠0），交邊AB于點(diǎn)P，求k的取值范圍；
（2）直線y=kx（k≠0），將長方形OABC的面積分成兩部分，靠近y軸的一部分記作S，試寫出S關(guān)于k的解析式；
（3）直線y=kx（k≠0），是否可能將長方形OABC的面積分成兩部分的面積比為2：3？若能，求出k的值；若不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意直線y=kx必須相交于線段AB即可求得k的取值范圍；
（2）分三種情況分別討論求得；
（3）直線y=kx（k≠0），將長方形OABC的面積分成兩部分的面積比為2：3，有兩種情況，一種是靠近y軸的一部分是

2

5

，另一種是靠近y軸的一部分是

3

5

，進(jìn)而列出方程，解方程即可求得．

解答：解：（1）∵直線y=kx（k≠0），交邊AB于點(diǎn)P，
∴直線y=kx（k≠0）經(jīng)過一、三象限，
∴k＞0，
把B（4，2）代入y=kx（k≠0），得2=4k，
解得k=

1

2

，
∴直線y=kx（k≠0），交邊AB于點(diǎn)P，求k的取值范圍為0＜k≤

1

2

；

（2）有三種情況：
①當(dāng)直線y=kx交BC于P時(shí)，解

y=kx y=2

解得x=

2

k

，
∴P（

2

k

，2），
∴S=

1

2

×

2

k

×2=

2

k

，
即S=

2

k

（k＞

1

2

）；
②當(dāng)直線y=kx經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，
S=

1

2

×4×2=4，
③當(dāng)直線y=kx交AB于P時(shí)，解

y=kx x=4

，解得y=4k，
∴S=S_矩形-S_△AOP=4×2-

1

2

×4×4k=8-8k，
即S=-8k+8（0＜k＜

1

2

）；
綜上所述，S關(guān)于k的解析式為：S=

2 k (k＞ 1 2 ) 4(k= 1 2 ) -8k+8(0＜k＜ 1 2 )

；

（3）能；
∵S_矩形=8，直線y=kx（k≠0）將長方形OABC的面積分成兩部分的面積比為2：3，
當(dāng)直線y=kx交BC于P時(shí)，S_△POC=8×

2

5

=

16

5

，
∵S=

2

k

，
∴

2

k

=

16

5

，解得k=

5

8

；
當(dāng)直線y=kx交AB于P時(shí)，S_△AOP=

16

5

，
∵S_△AOP=

1

2

×4×4k=8k，
∴8k=

16

5

，解得，k=

2

5

；
所以直線y=kx（k≠0），將長方形OABC的面積分成兩部分的面積比為2：3時(shí)，k的值為

2

5

或

5

8

．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了直線上的點(diǎn)的特征，待定系數(shù)法求解析式，以及三角形的面積等，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．