Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸與y軸上，已知正方形邊長為3，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0），連接CD，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線C→B→A的方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）連接OP，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，且滿足△CPO≌△ODC時(shí)，求直線OP的表達(dá)式；

（2）連接PC，求△CPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置使得△CDP為等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x；（2）S=；（3）滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．

【解析】

(1) 四邊形ABCO是正方形, 可得COD=∠OCP, OC=CO繼而證明△CPO≌△ODC, 可得P點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定OP解析式;

(2) 分當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)兩種情況討論即可;

(3) 存在, 分別以DC=DP1, DC=DP2, CD=CP3, P4C=P4D四種情況考慮, 利用勾股定理及圖形與坐標(biāo)性質(zhì)求出P坐標(biāo)即可.

（1）∵四邊形ABCO是正方形，

∴∠COD=∠OCP，∵OC=CO，

∴當(dāng)CP=OD=1時(shí)，△CPO≌△ODC，

∴P（1，3），

設(shè)直線OP的解析式為y=kx，則有3=k，

∴直線OP的解析式為y=3x．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖1中，

S=CPCO=t（0＜t≤3），

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如圖2中，

BP=t﹣3，AP=3﹣（t﹣3）=6﹣t，

S=3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）=﹣t=6（3＜t≤6），

綜上所述，S=．

（3）如圖3中，

①當(dāng)DC=DP1時(shí)，P1（2，3），

②當(dāng)DC=DP2時(shí)，AP2==，

∴P2（3，）．

③當(dāng)CD=CP3=時(shí)，BP3==1，

∴P3（3，2）．

④當(dāng)P4C=P4D時(shí)，設(shè)AP4=a，

則有22+a2=32+（3﹣a）2，

解得a=，

∴P4（3，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．