Question

如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=　12　．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．

分析：延長BQ交射線EF于M，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據(jù)等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據(jù)CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：如圖，延長BQ交射線EF于M，

∵E、F分別是AB、AC的中點，

∴EF∥BC，

∴∠M=∠CBM，

∵BQ是∠CBP的平分線，

∴∠PBM=∠CBM，

∴∠M=∠PBM，

∴BP=PM，

∴EP+BP=EP+PM=EM，

∵CQ=CE，

∴EQ=2CQ，

由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，

∴==2，

∴EM=2BC=2×6=12，

即EP+BP=12．

故答案為：12．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．