Question

如圖，已知長方形ABCD，過點C引∠A的平分線AM的垂線，垂足為M，AM交BC于E，連接MB，MD．
（1）求證：BE=DC；
（2）求證：∠MBE=∠MDC．

Answer 1

證明：（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°∴△BAE為等腰直角三角形，
又AB=DC，∴BE=DC．

（2）由CM⊥AM易得，∠EMC=90°，
又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，
∴∠MEC=45°，
∴∠MEC=∠MCE，
∴△MEC為等腰直角三角形，
∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°．
又BE=DC，
∴△BEM≌△DCM．
∴∠MBE=∠MDC．
分析：根據已知可得到△BAE為等腰直角三角形，又因為AB=CD則BE=CD．由已知可得△MEC為等腰直角三角形，即ME=CM，又因為BE=DC，可求得∠BEM=∠DCM，從而利用SAS判定△BEM≌△DCM，全等三角形的對應角相等，所以∠MBE=∠MDC．
點評：此題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質及矩形的性質的綜合運用能力．