Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，∠BAD的角平分線AE與邊BC交于點E，且BE：EC=4：3，連接DE．
（1）試求DE的長度．
（2）若要使∠AED=90°，則此時矩形的另一邊長為多少．

Answer 1

分析：（1）由已知條件證明BE=AB=DC=4，因為BE：EC=4：3，所以可求出EC=3，利用勾股定理即可求出DE的長；
（2）要使∠AED=90°，則AE²+DE²=AD²，由（1）中的數(shù)據(jù)可知AE²+DE²≠AD²，所以∠AED=90°，不存在．

解答：（1）證明：∵AE平分∠BAD
∴∠1=∠2，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=DC=4，
∵BE：EC=4：3
∴EC=3，
在Rt△DCE中，∠C=90°，DE=

32+42

=5；

（2）要使∠AED=90°則
在Rt△ABE中，∠B=90°，AE²=4²+4²=32
∵AD=BC=BE+EC=4+3=7
∴AD²=49，
∵AE²+DE²=57≠AD²，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°不存在．

點評：本題考查了勾股定理的運用以及逆定理的運用、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，題目的綜合性較強．