Question

已知：如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，可以說明：△ACN≌△MCB，從而得到結(jié)論：AN=BM．現(xiàn)要求：

（1）將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點落在CB上．請對照原題圖在下圖中畫出符合要求的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）在（1）所得到的圖形中，結(jié)論“AN=BM”是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

（3）在（1）所得到的圖形中，設(shè)MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并說明你的結(jié)論的正確性．

 

Answer 1

【答案】

（1）作圖見試題解析；（2）成立．證明見試題解析；（3）△ABD是等邊三角形，四邊形MDNC是平行四邊形．理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）可以C為圓心以CA為半徑，畫弧交BC于A，然后分別以C，A為圓心，以CA長為半徑，畫弧在BC下方交于M連接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形；

（2）還成立，可通過證明三角形ACN和BCM來實現(xiàn)，這兩個三角形中，CN=BC，CA=CM，這兩組對應(yīng)邊的夾角都等于60°，因此兩三角形全等，即可得出AN=BM；

（3）MA的延長線與BN相交于D點，那么對頂角DAB和CAM都應(yīng)該是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等邊三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四邊形CMDN就是個平行四邊形．

試題解析：（1）如下圖．

（2）結(jié)論“AN=BM”還成立．證明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．

（3）△ABD是等邊三角形，四邊形MDNC是平行四邊形．

證明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，∴∠ADB=60°．∴△ABD是等邊三角形，∵∠ADB=∠AMC=60°，∴ND∥CM，∵∠ADB=∠BNC=60°，∴MD∥CN，∴四邊形MDNC是平行四邊形．

考點：1．尺規(guī)作圖；2．全等三角形的判定；3．等邊三角形的判定與性質(zhì)；4．平行四邊形的判定．