Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（a+1）x+a²+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂
（1）求a的取值范圍；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，再把（x₁+1）（x₂+1）=8整理得x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，所以a²+2+2（a+1）+1=8，解關(guān)于a的方程，然后根據(jù)（1）中的條件確定a的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，
解得a≥

1

2

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，
∵（x₁+1）（x₂+1）=8，
∴x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，
∴a²+2+2（a+1）+1=8，
整理得a²+2a-3=0，解得a₁=-3，a₂=1，
∵a≥

1

2

，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．