Question

某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為20元/千克．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w （千克）與銷售價x （元/千克）有如下關(guān)系：w=-2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為y （元）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少元？
（參考關(guān)系：銷售額=售價×銷量，利潤=銷售額-成本）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)銷售利潤y=（每千克銷售價-每千克成本價）×銷售量w，即可列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先利用配方法將（1）的函數(shù)關(guān)系式變形，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）先把y=150代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求出x，再根據(jù)x的取值范圍即可確定x的值．

解答：解：（1）y=w（x-20）
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
則y=-2x²+120x-1600．
由題意，有

x≥20 -2x+80≥0

，
解得20≤x≤40．
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x²+120x-1600，自變量x的取值范圍是20≤x≤40；

（2）∵y=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∴當(dāng)x=30時，y有最大值200．
故當(dāng)銷售價定為30元/千克時，每天可獲最大銷售利潤200元；

（3）當(dāng)y=150時，可得方程-2x²+120x-1600=150，
整理，得x²-60x+875=0，
解得x₁=25，x₂=35．
∵物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于28元/千克，∴x₂=35不合題意，應(yīng)舍去．
故當(dāng)銷售價定為25元/千克時，該農(nóng)戶每天可獲得銷售利潤150元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度適中．得到每天的銷售利潤的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，利用配方法或公式法求解二次函數(shù)的最值問題是常用的解題方法．