Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作

⊙O的切線(xiàn)，交OD 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連結(jié)BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，若OB=9，，求BF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）FB=

【解析】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。

證明：（1）連接OC，

 

∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂徑定理）。

∴△CDO≌△BDO（HL）。∴∠COD=∠BOD。

在△OCE和△OBE中，

∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，

∴△OCE≌△OBE（SAS）�！唷螼BE=∠OCE=90°，即OB⊥BE。∴BE與⊙O相切。

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，

 

 

∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。

又∵ ，OB=9，∴OD=6。

∴OH=4，HB=5，DH=2。

又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。

 

（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結(jié)論。

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，根據(jù) ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長(zhǎng)。