Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA，OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A，B兩點的坐標分別為（-3，0），（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過B點，且頂點在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，是否存在點M使△CDM的面積最大？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點所在的直線列式求出b的值，再把點B的坐標代入拋物線解析式求出c的值，即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC=AD，然后求出點C、D的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征解答；
（3）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)平行線間的距離相等以及三角形的面積可知當過點M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時，點M到CD的距離最大，△CDM的面積最大，把拋物線與直線的解析式聯(lián)立消掉未知數(shù)y，利用根的判別式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線頂點在直線x=

5

2

上，
∴-

b

2× 2 3

=

5

2

，
解得b=-

10

3

，
∵拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過點B（0，4），
∴c=4，
∴拋物線對應的函數(shù)關系式為y=

2

3

x²-

10

3

x+4；

（2）四邊形ABCD是菱形時，點C、D在該拋物線上．
理由如下：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，
∴點C（5，4），D（2，0），
當x=5時，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=

50

3

-

50

3

+4=4，
當x=2時，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=

8

3

-

20

3

+4=0，
∴點C、D在該拋物線上；

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
所以，直線AB的解析式為y=

4

3

x+4，
當過點M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時，點M到CD的距離最大，△CDM的面積最大，
此時，設過點M的直線解析式為y=

4

3

x+m，
聯(lián)立

y= 2 3 x2- 10 3 x+4 y= 4 3 x+m

，
消掉y得，

2

3

x²-

10

3

x+4=

4

3

x+m，
整理得，2x²-14x+12-3m=0，
△=b²-4ac=（-14）²-4×2×（12-3m）=0，
解得m=-

25

6

，
此時，x=-

-14

2×2

=

7

2

，
y=

4

3

×

7

2

-

25

6

=

1

2

，
所以，點M（

7

2

，

1

2

）使△CDM的面積最大．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對稱軸解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，平行直線的解析式的k值相等，三角形的面積，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，難點在于（3）根據(jù)等底的三角形高越大，面積越大判斷出拋物線與過點M與AB平行的直線只有一個交點時△CDM的面積最大．