Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求寫解題過程）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）只需求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）可分兩種情況（①以C為直角頂點(diǎn)，②以A為直角頂點(diǎn)）討論，然后根據(jù)點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短，然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由B（-1，0）可知OB=1，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），A（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
則

16a+4b+c=0 a-b+c=0 c=4

，
解得：

a=-1 b=3 c=4

，
則拋物線的解析式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
①當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，
過點(diǎn)C作CP₁⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P₁，
過點(diǎn)P₁作y軸的垂線，垂足是M，M，如圖1．
∵∠A CP₁=90°，∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設(shè)P（m，-m²+3m+4），
則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴m=2，
此時(shí)-m²+3m+4=6，
∴P₁P的坐標(biāo)是（2，6）．
②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，
過A作AP₂⊥AC交拋物線于點(diǎn)P₂，
過點(diǎn)P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F，如圖2．
∴P₂N∥x軸，
由∠CAO=45°得∠OAP₂ =45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
設(shè)P₂（n，-n²+3n+4），
則-n+4=-（-n²+3n+4），
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴n=-2，
此時(shí)-n²+3n+4=-6，
∴P₂的坐標(biāo)是（-2，-6）．
綜上所述：P的坐標(biāo)是（2，6）或（-2，-6）；

（3）當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．
解題過程如下：
連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：D是AC的中點(diǎn)．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴

DF

CO

=

AD

AC

=

1

2

∴DF=

1

2

OC=2，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也是2，
解-x²+3x+4=2得，
x₁=

3+ 17

2

，x₂=

3- 17

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，根據(jù)矩形的性質(zhì)將EF轉(zhuǎn)化為OD，然后利用垂線段最短是解決第（3）小題的關(guān)鍵．