Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

1.求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；

2.若AB=6，BD=3，求AE和BC的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.見(jiàn)解析

2.AE＝ BC=3

【解析】（1）連接OC．                  

∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF

∴∠1＝∠2                          

∵OA=OC

∴∠2＝∠3                                     

∴∠1＝∠3

∴OC∥AE

∴OC⊥CD

∴DE是⊙O的切線(xiàn)．                 

（2）∵AB=6，

∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，

∴∠D＝30°，∠COD＝60°．     

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，

∴AE＝AD=．

在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形．

∴BC=OB=3．