【題目】已知拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.
(1)如圖1,求拋物線y=(x﹣2)2+1的伴隨直線的解析式.
(2)如圖2,若拋物線y=a(x﹣m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x﹣3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.
(3)如圖3,若拋物線y=a(x﹣m)2+n的伴隨直線是y=﹣2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.
①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;
②在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣2x+5;(2)y=﹣(x﹣2)2﹣1;(3)①m=b,n=﹣2×b+b=﹣b,②P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);(b,b);(b,﹣b);(b,b).
【解析】試題分析:(1)利用拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點(diǎn)A(0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B(2,1),求出直線解析式即可;
(2)首先得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣3),以及點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),進(jìn)而求出BE=2,得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式即可;
(3)①由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣b),以及n=﹣2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),利用勾股定理求出;
②利用①中B點(diǎn)坐標(biāo),以及BD的長度即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點(diǎn)A,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B,
∴拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點(diǎn)A(0,5),它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B(2,1),
設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,
∴,
解得:,
∴所求直線解析式為y=﹣2x+5;
(2)如圖,作BE⊥AC于點(diǎn)E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣3),
點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
可得:AC=6,
∵平行四邊形ABCD的面積為12,
∴S△ABC=6即S△ABC=ACBE=6,
∴BE=2,
∵m>0,即頂點(diǎn)B在y軸的右側(cè),且在直線y=x﹣3上,
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,﹣1),
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,﹣3),
∴a=﹣,
∴y=﹣(x﹣2)2﹣1;
(3)①如圖,作BF⊥x軸于點(diǎn)F,
由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣b),
∵頂點(diǎn)B(m,n)在直線y=﹣2x+b(b>0)上,
∴n=﹣2m+b,即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),
在矩形ABCD中,CO=BO.
∴b=,
∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2,
∴m=b,n=﹣2×b+b=﹣b,
②∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),即(b,﹣b),
∴BO==b,
∴BD=2b,
當(dāng)BD=BP,
∴PF=2b﹣b=b,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,b);
如圖3,當(dāng)DP=PB時,
過點(diǎn)D作DE⊥PB,于點(diǎn)E,
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(b,﹣b),
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣b,b),
∴DE=b,BE=b,設(shè)PE=x,
∴DP=PB=b+x,
∴DE2+PE2=DP2,
∴+x2=(b+x)2,
解得:x=b,
∴PF=PE+EF=b+b=b,
∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);
同理P可以為(b,﹣b);(b,b),
故P點(diǎn)坐標(biāo)為:(b,b);(b,b);(b,﹣b);(b,b).
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(1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響?為什么?
(2)若A城受到這次臺風(fēng)影響,那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間?
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C. ﹣3(b﹣1)=﹣3b+3D. 2(2﹣a)=2a﹣4
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A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【題目】觀察2,﹣3,4,﹣5,6,﹣7,…這一列數(shù),你能發(fā)現(xiàn)它們排列的規(guī)律嗎?請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,試寫出第100個數(shù)是 .
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