Question

如圖，直線yy₁=x-1與直線y₂=-

1

2

x+2交于點(diǎn)B，直線y1、 y2與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是A、C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及兩直線與坐標(biāo)軸圍成的四邊形ABCO的面積；
（2）連接AC，P（-1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得△PAC和△OAC的面積相等？若存在求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）聯(lián)立

y=x-1 y=- 1 2 x+2

，解該方程組就可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，連接OB，如圖1，易得BE、BF、OA、OC的長(zhǎng)，然后用割補(bǔ)法就可解決問題；
（2）由△PAC和△OAC的面積相等可證到OP∥AC，然后用待定系數(shù)法求出AC的解析式，從而得到OP的解析式，就可求出a的值．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=x-1 y=- 1 2 x+2

，
解得：

x=2 y=1

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1）．
過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，連接OB，如圖1，
則有BE=2，BF=1．
∵直線y₁=x-1與x軸的交點(diǎn)是A，直線y₂=-

1

2

x+2與y軸的交點(diǎn)是C，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∴S_{四邊形OABC}=S_△OAB+S_△OCB
=

1

2

OA•BF+

1

2

OC•BE
=

1

2

×1×1+

1

2

×2×2
=

5

2

．

（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，a），
∴點(diǎn)P在直線x=-1上，如圖2．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴

k+b=0 b=2

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直線AC的解析式為y=-2x+2．
∵S_△PAC=S_△OAC，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)O到AC的距離相等，
∴OP∥AC，
∴直線OP的解析式為y=-2x，
∴a=-2×（-1）=2，
∴a的值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求直線的解析式、等積變換、解方程組等知識(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用等積變換是解決第（2）小題的關(guān)鍵．