Question

如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標(biāo)為（

2

，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當(dāng)點A運動到x軸的負(fù)半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意過點O作OM⊥BC于點M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關(guān)系．
（2）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標(biāo)，AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式很容易就能求出．

解答：解：（1）直線BC與⊙O相切．…（1分）
如圖1，過點O作OM⊥BC于點M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1，
∵⊙O的半徑為l，
∴直線BC與⊙O相切；…（3分）

（2）①當(dāng)點A位于第一象限時（如右圖2）：
連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點O、A、C在同一條直線上
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=

1

2

OB=

2

2

．
點A的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

2

），…（5分）
∴過A、B兩點的直線為y=-x+

2

．…（6分）

②當(dāng)點A位于第四象限時（如右圖3）：
過點作AE⊥BC于點E，
∵AB是切線，
∴OA⊥AB，
∵∠OAB=90°，
∴點O與點C重合，
∴點A的坐標(biāo)為（

2

2

，-

2

2

），…（7分）
過A、B兩點的直線為y=x-

2

．…（8分）
綜上，當(dāng)直線AB與⊙O相切時，AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：．y=-x+

2

或y=x-

2

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、直線與圓的位置關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．