Question

某文具店準備購進甲，乙兩種鉛筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元．
（1）求購進甲，乙兩種鋼筆每支各需多少元？
（2）若該文具店準備拿出1000元全部用來購進這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購進甲中鋼筆的數(shù)量不少于乙種鋼筆數(shù)量的6倍，且不超過乙種鋼筆數(shù)量的8倍，那么該文具店共有幾種進貨方案？
（3）若該文具店銷售每支甲種鋼筆可獲利潤2元，銷售每支乙種鋼筆可獲利潤3元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

解：（1）設購進甲，乙兩種鋼筆每支各需a元和b元，根據(jù)題意得：
，
解得：，
答：購進甲，乙兩種鋼筆每支各需5元和10元；

（2）設購進甲鋼筆x支，乙鋼筆y支，根據(jù)題意可得：
，
解得：20≤y≤25，
∵x，y為整數(shù)，
∴y=20，21，22，23，24，25共六種方案，
∵5x=1000-10y＞0，
∴0＜y＜100，
∴該文具店共有6種進貨方案；

（3）設利潤為W元，則W=2x+3y，
∵5x+10y=1000，
∴x=200-2y，
∴代入上式得：W=400-y，
∵W隨著y的增大而減小，
∴當y=20時，W有最大值，最大值為W=400-20=380（元）．
分析：（1）先設購進甲，乙兩種鋼筆每支各需a元和b元，根據(jù)購進甲種鋼筆100支，乙種鉛筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元列出方程組，求出a，b的值即可；
（2）先設購進甲鋼筆x支，乙鋼筆y支，根據(jù)題意列出5x+10y=1000和不等式組6y≤x≤8y，把方程代入不等式組即可得出20≤y≤25，求出y的值即可；
（3）先設利潤為W元，得出W=2x+3y=400-y，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
點評：本題考查了二元一次方程組和不等式組的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找出之間的數(shù)量關系，列出相應的方程，主要考查學生的理解能力和計算能力，有一定的難度．