Question

如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點（不與點A，B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF．
（1）求證：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度數(shù)；
（3）當的值等于多少時，△PFD∽△BFP？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠ADP與∠EPB都是∠APD的余角，根據(jù)同角的余角相等，即可求證；
（2）首先證得△PAD≌△EQP，可以證得△BEQ是等腰直角三角形，可以證得∠EBQ=45°，即可證得∠CBE=45°；
（3）這兩個三角形是直角三角形，若相似，則對應邊的比相等，即可求得的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：過點E作EQ⊥AB交AB的延長線于點Q，則∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：∵△PFD∽△BFP
∴=
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A
∴△DAP∽△PBF
∴=
∴PA=PB
∴當=時，△PFD∽△BFP．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及三角形相似的判定與性質(zhì)，正確探究三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．