Question

如圖，在?ABCD中，AD=2CD，M是AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)EM．求證：∠DME=3∠AEM．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長(zhǎng)CD交EM的延長(zhǎng)線于F，連接CM，利用“角角邊”證明△AEM和△DFM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EM=MF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ECF=∠AEC=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM=CM=MF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠MCE=∠MEC，∠MCF=∠F，設(shè)∠AEM=x，表示出∠MEC，再表示出∠EMC和∠CMD，然后根據(jù)∠DME=∠EMC+∠CMD整理即可得證．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)CD交EM的延長(zhǎng)線于F，連接CM，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM，
∵平行四邊形ABCD的邊AB∥CD，
∴∠AEM=∠F，
在△AEM和△DFM中，

∠AEM=∠F ∠AME=∠DMF AM=DM

，
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=MF，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠AEC=90°，
∴EM=CM=MF，
∴∠MCE=∠MEC，∠MCF=∠F，
設(shè)∠AEM=x，則∠MEC=90°-x，
在△CEM中，∠EMC=180°-2（90°-x）=2x，
在△CMF中，∠MCF=∠F=x，
∵AD=2CD，M是AD的中點(diǎn)，
∴MD=CD，
∴∠CMD=∠MCF=x，
∴∠DME=∠EMC+∠CMD，
=2x+x，
=3x，
即：∠DME=3∠AEM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造成全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．