Question

如圖，已知，分別是正方形邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面，試求的值；

（Ⅲ）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

 解：法1：（Ⅰ）連結(jié)，

∵平面，平面，∴，

又∵，，

∴平面，

又∵，分別是、的中點(diǎn)，∴，

∴平面，又平面，

∴平面平面； ---------------4分

（Ⅱ）連結(jié)，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故       -----------------8分

（Ⅲ）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，

∴為所求二面角的平面角，                ---------10分

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，

所以在矩形中，可求得，，， --------12分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值為．         --------------14分

法2：（Ⅰ）同法1；

（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，

∴，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平面的法向量為，則，

所以，即，令，則，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn)；故   -------8分

（Ⅲ），則，設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，

則，，即，

當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，則，

∴，

∴二面角的余弦值為-----14分