Question

已知正方形ABCD如圖所示，連接其對角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點F，過點B作BM⊥CF于點N，交AC于點M，過點C作CP⊥CF，交AD延長線于點P．
（1）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；
（2）求證：CP=BM+2FN．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等角對等邊易證AP=AC，根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（2）易證△PDC≌△FBC則CP=CF，在CN上截取NH=FN，連接BH，則可以證明△AMB≌BHC，得到CH=BM，即可證得．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四邊形ABCD為正方形，
∴∠ACP=45+22.5=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=

2

AB=4

2

∴AP=4

2

，
∴S_△APC=

1

2

AP•CD=

1

2

×4

2

×4=8

2

；

（2）∵在△PDC和△FBC中，

∠PDC=∠FBC CD=BC ∠1=∠3

∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，連接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，

∠1=∠4 AB=BC ∠HBC=∠BAM

，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．

點評：本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．