Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線y=ax²+bx交于點(diǎn)C、D．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

1

2

．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點(diǎn)P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax²+bx沿x軸平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移的方向和距離．

Answer 1

分析：（1）首先將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=kx+2后求得直線的解析式，然后即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入的二次函數(shù)的解析式的一般形式后即可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)后分別表示出兩個(gè)三角形的面積后列出方程求解即可；
（4）根據(jù)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，所以令y=-2x²+

9

2

x=2即可確定平移的距離；

解答：解：（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=kx+2得：
1=2k+2
解得k=-

1

2

則y=-

1

2

x+2
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

7

4

故D（

1

2

，

7

4

）；

（2）將點(diǎn)C、D坐標(biāo)代入y=ax²+bx得：

1=4a+2b 7 4 = 1 4 a+ 1 2 b

，
解得：

a=-2 b= 9 2

故y=-2x²+

9

2

x；

（3）∵y=-

1

2

x+2當(dāng)y=0時(shí)x=4，當(dāng)x=0時(shí)y=2
∴A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2
設(shè)P（m，-2m²+

9m

2

）
則S△POA=

1

2

×4×（-2m²+

9m

2

）=-4m²+9m
S△POB=

1

2

×2×m=m
當(dāng)-4m²+9m=m+4時(shí)，解得m=1
∴-2m²+

9m

2

=

5

2

∴存在點(diǎn)P（1，

5

2

）；

（4）將y=-2x²+

9

2

x向左平移

9± 17

8

個(gè)單位后，經(jīng)過點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是存在性問題，更是近幾年中考的高頻考點(diǎn)，需要加強(qiáng)訓(xùn)練．