Question

已知關(guān)于x的方程

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x2-(m-2)x+m2=0．
（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值，并求出方程的根；
（2）設(shè)方程的兩根為x₁，x₂．是否存在正數(shù)m，使得x₁²+x₂²=224？若存在請(qǐng)求出滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△=0，即(m-2)2-4×

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×m2=0得到m的方程，可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可；
（2）先假設(shè)存在正數(shù)m使得x₁²+x₂²=224，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²．于是有x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，解方程求出m的值，同時(shí)由△＞0得m＜1，且m為正數(shù)，最后確定不存在符合條件的正數(shù)m

解答：解：（1）依題意得△=0，即(m-2)2-4×

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×m2=0，
-4m+4=0，
解得m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，原方程為

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x2+x+1=0
解得x₁=x₂=-2．

（2）不存在．
假設(shè)存在正數(shù)m使得x₁²+x₂²=224，
則由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，
即：m²-8m-20=0，
解得m₁=10，m₂=-2（舍去）
∵△=(m-2)2-4×

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×m2=-4m+4＞0，
∴m＜1
∴m₁=10也不符合題意，應(yīng)舍去．
故不存在正數(shù)m使得方程兩根滿足x₁²+x₂²=224．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．考查了根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了存在性問題的解題方法和格式．