Question

如圖，已知A（0，4），B（3，0），M（1，1），AB=5，MH⊥BO，P為x軸負(fù)半軸上一動點，作x軸關(guān)于PM對稱軸的直線PQ交y軸于點Q，交AB于R，OD平分∠POQ交PM于D．

（1）求證：BM平分∠ABO；
（2）當(dāng)

OQ

PQ

=

1

2

時，求

OD

DM

的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,三角形的外角性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）過點M作ME⊥y軸于點E，過點M作MF⊥AB于點F，連接MA、MO、MB，如圖1，運用面積法求得MF=1，從而有MH=MF，然后根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論；
（2）由條件“

OQ

PQ

=

1

2

”可得∠QPO=30°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠OPM=15°，易證∠DOM=90°，在Rt△DOM中，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠OMD=30°，然后只需運用三角函數(shù)的定義就可解決問題．

解答：（1）證明：過點M作ME⊥y軸于點E，過點M作MF⊥AB于點F，連接MA、MO、MB，如圖1．

∵A（0，4），B（3，0），M（1，1），AB=5，MH⊥BO，
∴S_△AOB=S_△AOM+S_△OBM+S_△ABM
=

1

2

AO•ME+

1

2

OB•MH+

1

2

AB•MF
=

1

2

×4×1+

1

2

×3×1+

1

2

×5×MF
=

7

2

+

5

2

MF．
又∵S_△AOB=

1

2

OB•OA=

1

2

×3×4=6，
∴

7

2

+

5

2

MF=6，
解得MF=1，
∴MH=MF．
∵M(jìn)H⊥OB，MF⊥AB，
∴BM平分∠ABO．

（2）解：連接OM，如圖2．

在Rt△POQ中，
當(dāng)

OQ

PQ

=

1

2

時，有sin∠QPO=

OQ

PQ

=

1

2

，
∴∠QPO=30°．
∵直線PB與直線PR關(guān)于直線PM對稱，
∴∠QPM=∠OPM=

1

2

∠QPO=15°．
∵OH=MH=1，∠OHM=90°，
∴∠HMO=∠MOH=45°．
∵OD平分∠POQ，
∴∠POD=∠QOD=

1

2

∠POQ=45°，
∴∠DOM=180°-45°-45°=90°．
在Rt△DOM中，
∵∠OMD=∠MOH-∠MPO=45°-15°=30°，
∴sin∠OMD=

OD

DM

=sin30°=

1

2

，
∴

OD

DM

的值為

1

2

．

點評：本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、角平分線的判定（到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上）等知識，運用面積法求出MF的長是解決第（1）小題的關(guān)鍵，求得∠DOM=90°及∠OMD=30°是解決第（2）小題的關(guān)鍵．