Question

如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD、CD．
求證：點B、E、C在以點D為圓心，BD為半徑的圓上．

Answer 1

考點：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關系

專題：證明題

分析：根據(jù)垂徑定理，由AD⊥BC，

BD

=

CD

，則BD=CD，∠3=∠4，再由∠ABC的平分線交AD于點E得∠2=∠ABE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠1=∠4+∠ABE，所以∠1=∠2+∠3，則根據(jù)等腰三角形的判定得DB=DE，于是DB=DE=DC，然后根據(jù)點與圓的關系得點B、E、C在以點D為圓心，BD為半徑的圓上．

解答：證明：∵AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，∠3=∠4，
∵∠ABC的平分線交AD于點E，
∴∠2=∠ABE，
∵∠1=∠4+∠ABE，
∴∠1=∠2+∠3，即∠1=∠DBE，
∴DB=DE，
∴DB=DE=DC，
∴點B、E、C在以點D為圓心，BD為半徑的圓上．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓心角、弧、弦的關系．