Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（1，0）和B（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點E，點F是位于x軸上方對稱軸上一點，F(xiàn)C∥x軸，與對稱軸右側的拋物線交于點C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標，然后代入函數(shù)解析式計算求出縱坐標，即可得解；
（3）設AC、EF的交點為D，根據(jù)點C的坐標寫出點D的坐標，然后分①點O是直角頂點時，求出△OED和△PEO相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出PE，然后寫出點P的坐標即可；②點C是直角頂點時，同理求出PF，再求出PE，然后寫出點P的坐標即可；③點P是直角頂點時，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PD=

1

2

OC，再分點P在OC的上方與下方兩種情況寫出點P的坐標即可．

解答：解：（1）把點A（1，0）和B（4，0）代入y=ax²+bx+2得，

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=

5

2

，
∵四邊形OECF是平行四邊形，
∴點C的橫坐標是

5

2

×2=5，
∵點C在拋物線上，
∴y=

1

2

×5²-

5

2

×5+2=2，
∴點C的坐標為（5，2）；

（3）設OC與EF的交點為D，
∵點C的坐標為（5，2），
∴點D的坐標為（

5

2

，1），
①點O是直角頂點時，易得△OED∽△PEO，
∴

OE

DE

=

PE

OE

，
即

5 2

1

=

PE

5 2

，
解得PE=

25

4

，
所以，點P的坐標為（

5

2

，-

25

4

）；
②點C是直角頂點時，同理求出PF=

25

4

，
所以，PE=

25

4

+2=

33

4

，
所以，點P的坐標為（

5

2

，

33

4

）；
③點P是直角頂點時，由勾股定理得，OC=

52+22

=

29

，
∵PD是OC邊上的中線，
∴PD=

1

2

OC=

29

2

，
若點P在OC上方，則PE=PD+DE=

29

2

+1，
此時，點P的坐標為（

5

2

，

2+ 29

2

），
若點P在OC的下方，則PE=PD-DE=

29

2

-1，
此時，點P的坐標為（

5

2

，

2- 29

2

），
綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（

5

2

，-

25

4

）或（

5

2

，

33

4

）或（

5

2

，

2+ 29

2

）或（

5

2

，

2- 29

2

），使△OCP是直角三角形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對角線互相平分的性質，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，難點在于（3）根據(jù)直角三角形的直角頂點分情況討論．