Question

【題目】如圖，⊙O為等邊△ABC的外接圓，其半徑為1，P為弧AB上的動點(P點不與A、B重合)，連接AP，BP，CP.

(1)求證：PA+PB＝PC.

(2)求四邊形APBC面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）在PC上截取PD=AP，利用圓周角定理得到∠APC=60°，則△APD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得到AD=AP=PD，∠ADP=60°，進而推出∠ADC=∠APB，即可證明△APB≌△ADC，利用對應邊相等即可得證；

（2）過點P作PE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F，利用面積公式可得S四邊形APBC=AB(PE+CF)，易知PC為⊙O的直徑時，四邊形APBC的面積最大，求出三角形ABC的邊長即可求面積.

解：在PC上截取PD=AP，如圖1，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴∠APC=∠ABC=60°，

又∵PD=AP

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=∠APC+∠BAC =120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC(AAS)，

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴PC=PD+DC=PA+PB；

(2)當點P為弧AB的中點時，四邊形APBC的面積最大.

理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E.

過點C作CF⊥AB，垂足為F.

∵S△APB=ABPE，S△ABC=ABCF，

∴S四邊形APBC=AB(PE+CF)，

當點P為弧AB的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，

∴此時四邊形APBC的面積最大.

如圖所示，過O作OM⊥BC，連接OB，OC，

∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，

∴∠BOC=120°，

由垂徑定理可知∠BOM=60°，BM=MC=BC，

∴

∴

∴其內接正三角形的邊長AB=，

∴S四邊形APBC=×2×.