Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－5，0），以OA為半徑作半圓，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，并延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)OF．

（1）當(dāng)∠BAC＝30時(shí)，求△ABC的面積；

（2）當(dāng)DE＝8時(shí)，求線段EF的長；

（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0) ；（，0）；（，0）

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ACB=90°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)求得BC，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得AC，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；

（2）連接AD，由垂直平分線的性質(zhì)得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依題意證明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；

（3）當(dāng)以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，分為兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在O，B之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)時(shí)；分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．

(1)∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，

∴BC=AB=5，

∴AC=，

∴S△ABC=ACBC=；

(2)連接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC，

∴AD=AB=10，

∵DE⊥AB，

∴AE==6，

∴BE=ABAE=4，

∴DE=2BE，

∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE，

∵∠AEF=∠DEB=90°，

∴△AEF∽△DEB，

∴=2，

∴EF=AE=×6=3；

(3)連接EC，設(shè)E(x，0)，

當(dāng)的度數(shù)為60°時(shí)，點(diǎn)E恰好與原點(diǎn)O重合；

①0°<的度數(shù)<60°時(shí)，點(diǎn)E在O、B之間，∠EOF>∠BAC=∠D，

又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此時(shí)有△EOF∽△EBD，

∴，

∵EC是Rt△BDE斜邊的中線，

∴CE=CB，

∴∠CEB=∠CBE，

∴∠EOF=∠CEB，

∴OF∥CE，

∴△AOF∽△AEC

∴，

∴，即，

解得x=，因?yàn)?/span>x>0，

∴x=；

②60°<的度數(shù)<90°時(shí)，點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)，

若∠EOF=∠B，則OF∥BD，

∴OF=BC=BD，

∴即解得x=，

若∠EOF=∠BAC，則x=，

綜上點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0) ；（，0）；（，0）.