Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（-1，0），下列結論：①ab＜0，②b²＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞-1時，y＞0．其中正確結論的個數(shù)是（　�。�

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：數(shù)形結合

分析：利用拋物線開口方向得a＜0，利用對稱軸在y軸的右側(cè)得b＞0，則可對①進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得c=1，a-b+c=0，則b=a+c=a+1，所以0＜b＜1，于是可對②④進行判斷；由于a+b+c=a+a+1+1=2a+2，利用a＜0可得a+b+c＜2，再根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在（1，0）和（2，0）之間，則x=1時，函數(shù)值為正數(shù)，即a+b+c＞0，由此可對③進行判斷；觀察函數(shù)圖象得到x＞-1時，拋物線有部分在x軸上方，有部分在x軸下方，則可對⑤進行判斷．

解答：解：∵由拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∴ab＜0，所以①正確；
∵點（0，1）和（-1，0）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴c=1，a-b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a＜0，
∴0＜b＜1，所以②錯誤，④正確；
∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
而a＜0，
∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，
∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（-1，0），而拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，在直線x=1的左側(cè)，
∴拋物線與x軸的另一個交點在（1，0）和（2，0）之間，
∴x=1時，y＞0，即a+b+c＞0，
∴0＜a+b+c＜2，所以③正確；
∵x＞-1時，拋物線有部分在x軸上方，有部分在x軸下方，
∴y＞0或y=0或y＜0，所以⑤錯誤．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．