Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求證：CD•DF=BC•BE；
（2）若M、N分別是AB、AD中點，且∠B=60°，求證：EM∥FN．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形得到∠ABD=∠ADC，再有∠AEB=∠AFD=90°，可得△ABE∽△ADF，于是

AB

AD

=

BE

DF

，進(jìn)而

CD

BC

=

BE

DF

，即CD•DF=BC•BE；（2）延長EM交DA的延長線于點Q，由四邊形ABCD是平行四邊形得到∠Q=∠MEB，AE⊥BC于E，M是AB中點，ME=

1

2

AB=MB，∠MEB=∠B，所以∠Q=60°，同樣求得∠DNF=60°，∠DNF=∠Q，即可得EM∥FN．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABD=∠ADC，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴

AB

AD

=

BE

DF

，
∵平行四邊形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，
∴

CD

BC

=

BE

DF

，即CD•DF=BC•BE；
（2）延長EM交DA的延長線于點Q，

∵平行四邊形ABCD，
∴DQ∥BC，∠Q=∠MEB，
∵AE⊥BC于E，M是AB中點，
∴ME=

1

2

AB=MB
∴∠MEB=∠B，
∴∠Q=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠Q=60°，
∵AF⊥CD于F，N是AD中點，
∴NF=

1

2

AD=ND，∠NFD=∠D，
∵平行四邊形ABCD，
∴∠D=∠B=60°，
∴∠NFD=∠D=60°，
∴∠DNF=60°，
∴∠DNF=∠Q，
∴EM∥FN．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．還用到等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．