Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知頂點(diǎn)為P（0，2）的二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)C在該二次函數(shù)的圖象上，且在第四象限，當(dāng)△ABC的面積為12時(shí)，求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D 在y軸上，且△APD與△ABC相似，求點(diǎn)D坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖象上另一點(diǎn)的坐標(biāo)，所以利用頂點(diǎn)式方程來(lái)表示二次函數(shù)解析式；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H．設(shè)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為m，則CH=

1

2

m2-2．由三角形的面積公式得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，所以由點(diǎn)C所在的象限求得C（4，-6）；
（3）需要分類(lèi)討論：①△APD∽△ABC；②△ADP∽△ABC．

解答：解：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為y=ax²+2（a≠0）．
把（2，0）代入解析式，解得a=-

1

2

．
所以 拋物線表達(dá)式為y=-

1

2

x2+2．則B（-2，0）；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為m，則CH=

1

2

m2-2．
由題意得

1

2

•[2-(-2)]•(

1

2

m2-2)=12，
解得m=±4．
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴m=4．
∴C（4，-6）；

（3）∵PO=AO=2，∠POA=90°，
∴∠APO=45°．
∵BH=CH=6，∠CHB=90°，
∴∠CBA=45°．
∵∠BAC＜135°，
∴點(diǎn)D應(yīng)在點(diǎn)P下方，
∴在△APD與△ABC中，∠APD=∠CBA．
由勾股定理得PA=2

2

，BC=6

2

．
①當(dāng)

PD

AB

=

PA

BC

時(shí)，

PD

4

=

2 2

6 2

．解得PD=

4

3

．∴D1(0，

2

3

)；
②當(dāng)

PD

BC

=

PA

AB

時(shí)，

PD

6 2

=

2 2

4

．解得PD=6．∴D₂（0，-4）．
綜上所述，點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，

2

3

)或（0，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)等二次函數(shù)綜合題．解答（3）題時(shí)，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一定要分類(lèi)討論．