Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為5cm/s．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒，請(qǐng)解答下面的問(wèn)題，并寫(xiě)出探索的主要過(guò)程．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積為15cm2？

（3）請(qǐng)用配方法說(shuō)明，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，四邊形BPQA的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）經(jīng)過(guò)2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.75秒時(shí)，四邊形BPQA的面積最小為： cm2．

【解析】(1)根據(jù)勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出經(jīng)過(guò)1s后,P、Q兩點(diǎn)的距離為 cm2;

(2)根據(jù)三角形的面積公式便可求出經(jīng)過(guò)2或1.5s后,S△PCQ的面積為15 cm2;

(3)根據(jù)三角形的面積公式以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時(shí)△PCQ的面積最大,進(jìn)而求出四邊形BPQA的面積最小值.

解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，P、Q兩點(diǎn)的距離為5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入數(shù)據(jù)（7-2t）2+（5t）2=（5）2；
解得t=1或t=-（不合題意舍去）；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，S△PCQ的面積為15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
經(jīng)過(guò)2或1.5s后，S△PCQ的面積為15cm2
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后，△PCQ的面積最大，則此時(shí)四邊形BPQA的面積最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t2+7t）
當(dāng)t=-時(shí)，即t==1.75s時(shí)，△PCQ的面積最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.752=（cm2），
∴四邊形BPQA的面積最小值為：S△ABC-S△PCQ最大=×7×24-=（cm2），
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.75秒時(shí)，四邊形BPQA的面積最小為： cm2．