Question

如圖在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接EB交OD于點(diǎn)F．
（1）求證：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連AD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到AD⊥BC，AE⊥BE，而AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有BD=DC，易得OD為△BAC的中位線，則OD∥AC，即可得到結(jié)論；
（2）OD⊥BE，根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE，則DB=DE=，設(shè)OF=x，則DF=-x，利用勾股定理可得（）²-（-x）²=（）²-x²，解得x=，易證得OF為△BAE的中位線，則有AE=2OF=2×=3．
解答：（1）證明：連AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，AE⊥BE，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵BO=OA，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
∴OD⊥BE；

（2）解：∵OD⊥BE，
∴弧BD=弧DE，
∴DB=DE=，
∵AB=5，則OB=OD=，
設(shè)OF=x，則DF=-x，
∵BF²=BD²-DF²=OB²-OF²，即（）²-（-x）²=（）²-x²，解得x=，
∵OF∥AE，OA=OB，
∴AE=2OF=2×=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了圓周角定理的推論、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．