Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，6），點B（8，0），點E（4，0）
（1）求AB的長；
（2）過點E作x軸的垂線交AB于點P，過點P作y軸垂線于點F，求點P的坐標(biāo)；
（3）動點M從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在直線BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點M，Q移動的時間為t秒，當(dāng)t為何時，△AMQ與△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）利用A，B兩點坐標(biāo)得出AO，BO的長，再利用勾股定理求出AB的長；
（2）首先求出直線AB所在直線解析式，進而利用P點橫坐標(biāo)為4，得出縱坐標(biāo)即可；
（3）若△AMQ與△AOB相似，則因為A與A對應(yīng)，所以只有兩種情況，M與O對應(yīng)或者M與B對應(yīng)分別求出即可．

解答：解：（1）∵A（0，6），點B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=

62+82

=10；

（2）將點A（0，6），點B（8，0），代入y=kx+b，
則

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
則直線AB的解析式為：y=-

3

4

x+6，
∵點E（4，0），過點E作x軸的垂線交AB于點P，過點P作y軸垂線于點F，
∴P點橫坐標(biāo)為：4，
∴P點縱坐標(biāo)為：y=-

3

4

×4+6=3，
∴點P的坐標(biāo)為：（4，3）；

（3）如圖1，當(dāng)M與O對應(yīng)，則△AMQ∽△AOB，
∴

AM

AO

=

AQ

AB

，
∵動點M從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，
同時動點Q從點B開始在直線BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，
∴AM=t，AQ=10-2t，
∴

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
如圖2，當(dāng)M與B對應(yīng)，則△AMQ∽△ABO，
∴

AM

AB

=

AQ

AO

，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
綜上所述：當(dāng)t=

30

11

秒或

50

13

秒時，△AMQ與△AOB相似．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及勾股定理和相似三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知進行分類討論得出是解題關(guān)鍵．