Question

如圖，四邊形ABCD為一等腰梯形紙片，AB∥CD，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF．已知CE⊥AB．
（1）求∠CEF的度數(shù)；
（2）求證：EF∥BD；
（3）若AB=7，CD=3，則線段BC和EF的長分別為______和______．

Answer 1

（1）解：∵△AEF與△CEF關(guān)于EF對稱，
∴△AEF≌△CEF．
∴∠AEF=∠CEF，AE=CE．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠CEF=45°．
答：∠CEF=45°；

（2）證明：連接AC，
∵AE=CE，∠AEC=90°，
∴∠EAC=∠ECA=45°．
∴∠EAC=∠AEF．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠BEC=∠DCE=90°，AC=BD．
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∴∠AEF=∠ABD，
∴EF∥BD；

（3）解：作DG⊥AB于G，
∴∠AGD=∠EGD=90°．
∴∠EGD=∠AEC=∠DCE=90°，
∴四邊形DGEC是矩形，
∴GD=EC，DC=GE．
在Rt△AGD和Rt△BEC中
，
∴Rt△AGD≌Rt△BEC（HL），
∴AG=BE．
∵AG+GE+EB=B，且AB=7，CD=3，
∴AG=BE=2．
∴AE=5．
∴CE=5．
在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理，得
AC=5，BC=．
∴BD=5．
∵EF∥BD，
∴，
∴，
∴EF=．
故答案為：，．
分析：（1）由軸對稱的性質(zhì)可以得出△AEF≌△CEF，就可以得出∠AEF=∠CEF，由CE⊥AB就可以求出∠AEC的度數(shù)而得出結(jié)論；
（2）連接AC，由等腰梯形的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BAD，就可以得出∠BAC=∠ABD，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠AEF=∠ABD而得出結(jié)論；
（3）作DG⊥AB于G，就可以得出四邊形DGEC是矩形，進(jìn)而 可以得出△AGD≌△BCE，而求出BE的值，由勾股定理求出AC、BC的值，由EF∥BD就可以得出△AEF∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵，