Question

如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)n，當(dāng)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，n+1都能表示成k個(gè)完全平方數(shù)的和，那么k的最小值為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)3n+1=m²，移項(xiàng)，因式分解，得出m+1，m-1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)，設(shè)其中一個(gè)為3a，用含a的代數(shù)式表示n，再把n+1用含a的代數(shù)式表示，變形成幾個(gè)完全平方數(shù)的和即可．

解答：解：設(shè)3n+1=m²，則3n=m²-1=（m+1）（m-1），
故m+1，m-1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)，
不妨設(shè)m-1=3a，
則3n=m²-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
則n+1=a（3a+2）+1=3a²+2a+1=a²+a²+（a+1）²，
故其最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)．關(guān)鍵是運(yùn)用字母代替數(shù)，將所求式子變形，得出幾個(gè)完全平方數(shù)的和，求出k的最小值．