Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一點，連結(jié)BE并延長交AC于點F． 
（1）求證：BE=AC，BF⊥AC．
（2）連接CE，并延長交AB于P，求證：CP⊥AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用SAS得到三角形BED與三角形ACD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE=AC，且∠EBD=∠CAD，利用對頂角得到∠AEF=∠BED，根據(jù)等式的性質(zhì)得到BF垂直于AC；
（2）由三角形ABD與三角形EDC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBC=∠PCB=45°，進而得到∠CPB為直角，即可得證．

解答：證明：（1）在△BED和△ACD中，

BD=AD ∠BDE=∠ADC=90° ED=CD

，
∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE=AC，∠EBD=∠CAD，
∵∠EBD+∠BED=90°，∠AEF=∠BED，
∴∠CAD+∠AEF=90°，即∠AFE=90°，
則BF⊥AC；
（2）∵△ABD和△ECD都為等腰直角三角形，
∴∠PBC=∠PCB=45°，
∴∠CPB=90°，即CP⊥AB．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．