Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)M，弦MN∥BC交AB于點(diǎn)E，且ME=1，AM=2，AE=

3

．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：證明題

分析：（1）在△AME中，由于AM²=ME²+AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AEM=90°，由于MN∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；
（2）連接OM，如圖，設(shè)⊙O的半徑是r，在Rt△OEM中，OE=AE-OA=

3

-r，ME=1，OM=r，根據(jù)勾股定理得到r²=1²+（

3

-1）²，然后解方程即可得到⊙O的半徑．

解答：（1）證明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE=

3

，
∴AM²=ME²+AE²，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM=90°，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
而AB為直徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接OM，如圖，設(shè)⊙O的半徑是r，
在Rt△OEM中，OE=AE-OA=

3

-r，ME=1，OM=r，
∵OM²=ME²+OE²，
∴r²=1²+（

3

-r）²，
解得r=

2 3

3

即⊙O的半徑為

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．