Question

（2006•荊門）如圖①，直線AM⊥AN，⊙O分別與AM、AN相切于B、C兩點(diǎn)，連接OC、BC，則有∠ACB=∠OCB；（請思考：為什么？）如果測得AB=a，則可知⊙O的半徑r=a．（請思考：為什么？）
（1）將圖①中直線AN向右平移，與⊙O相交于C₁、C₂兩點(diǎn)，⊙O與AM的切點(diǎn)仍記為B，如圖②．請你寫出與平移前相應(yīng)的結(jié)論，并將圖②補(bǔ)充完整；判斷此結(jié)論是否成立，且說明理由．
（2）在圖②中，若只測得AB=a，能否求出⊙O的半徑r？若能求出，請你用a表示r；若不能求出，請補(bǔ)充一個(gè)條件（補(bǔ)充條件時(shí)不能添加輔助線，若補(bǔ)充線段請用b表示，若補(bǔ)充角請用α表示），并用a和補(bǔ)充的條件表示r．

Answer 1

【答案】分析：（1）平移后點(diǎn)C變成兩個(gè)點(diǎn)，所以只要把結(jié)論中的C換成C₁、C₂即可；
（2）移動(dòng)前，半徑OB等于AC，而AC的長等于AB，移動(dòng)后半徑等于點(diǎn)A到線C₁C₂的中點(diǎn)的長而C₁C₂不確定，所以不能．可以補(bǔ)充AC₁的長，先根據(jù)切線長定理求出C₁C₂．
解答：解：（1）圖②中相應(yīng)結(jié)論為∠AC₁B=∠OC₁B和∠AC₂B=∠OC₂B．（2分）
先證∠AC₁B=∠OC₁B．
連接OB、OC₁，
∵AM與⊙O相切于B，
∴OB⊥AM；
∵AN⊥AM，
∴OB∥AN，
∴∠AC₁B=∠OBC₁；
∵OB=OC₁，
∴∠OBC₁=∠OC₁B，
∴∠AC₁B=∠OC₁B．
同理可證∠AC₂B=∠OC₂B．（4分）

（2）若只測得AB=a，不能求出⊙O的半徑r．（5分）
補(bǔ)充條件：另測得AC₁=b．（6分）
作OD⊥C₁C₂，則C₁D=C₂D．
∵AB²=AC₁•AC₂，∴AC₂=．
∴C₁C₂=AC₂-AC₁=-b=．
∴C₁D=C₁C₂=．
故r=OB=AD=AC₁+C₁D=b+=．（10分）
說明：1．①若補(bǔ)充條件：另測得AC₂=b，則r=；
②若補(bǔ)充條件：另測得C₁C₂=b，則r=；
③若補(bǔ)充條件：另測得BC₁=b，則r=；
④若補(bǔ)充條件：另測得∠ABC₁=α，則r=．
2．以上答案供參考，若有其他答案，只要正確，都應(yīng)給分．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道信息給予題，按照所給信息，把結(jié)論中的相應(yīng)字母進(jìn)行更換就可以；判斷是否可以，只要分析一下移動(dòng)后對(duì)結(jié)論是否影響，有影響則不能求出，否則就能求出．