Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．P是射線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，在射線CA上截取CD=CP，連接PD．設(shè)BP=t．

（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合？

（2）設(shè)△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

圖9（1）

Answer 1

解：（1）在一次函數(shù)解析式中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，

∴A（3，0），B（0，4）。

在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5。

在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，

∴CD=CP=t。

若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合，則BC+CD=AB，即t+t=5，解得：t=。

∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合。

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，t=4；

當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，由BC=BA，即t=5，得t=。

∴點(diǎn)P在射線BO上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，分為四個(gè)階段：

當(dāng)0＜t≤時(shí)，如題圖所示，

此時(shí)S=S_△PCD=CP•CD=•t•t=t²。

②當(dāng)＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E，

BD=BC+CD=t+t=t，

過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，

則ND=BD•sin∠ABO=t•=t

BN=BD•cos∠ABO=t•=t。

∴PN=BN﹣BP=t﹣t=t，ON=BN﹣OB=t﹣4。

∵ND∥x軸，∴△OEP∽△NDP。

∴，即，得：OE=28﹣7t.。

∴AE=OA﹣OE=3﹣（28﹣7t）=7t﹣25。

∴。

③當(dāng)4＜t≤時(shí)，如答圖2所示，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E．

AC=AB﹣BC=5﹣t，

∵，

∴CE=AC•tan∠OAB=（5﹣t）×= ﹣t。

∴

。

④當(dāng)t＞時(shí)，無(wú)重合部分，故S=0。

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

。

【解析】

試題分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的長(zhǎng)度；進(jìn)而利用關(guān)系式AB=BC+CD，列方程求出t的值。

（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，分為四個(gè)階段，需要分類討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如題圖所示，重合部分為△PCD；

②當(dāng)＜t≤4時(shí)，如答圖1所示，重合部分為四邊形ACPE；

③當(dāng)4＜t≤時(shí)，如答圖2所示，重合部分為△ACE；

④當(dāng)t＞時(shí)，無(wú)重合部分。