【題目】如圖,四邊形ABDC中,∠D=∠ABD=90°,點(diǎn)O為BD的中點(diǎn),且OA平分∠BAC.
(1)求證:OC平分∠ACD;
(2)求證:OA⊥OC;
(3)求證:AB+CD=AC.

【答案】
(1)證明:過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E,

∵∠ABD=90゜,OA平分∠BAC,

∴OB=OE,

∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn),

∴OB=OD,

∴OE=OD,

∴OC平分∠ACD


(2)證明:在Rt△ABO和Rt△AEO中,

,

∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL),

∴∠AOB=∠AOE,

同理求出∠COD=∠COE,

∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°,

∴OA⊥OC


(3)證明:∵Rt△ABO≌Rt△AEO,

∴AB=AE,

同理可得CD=CE,

∵AC=AE+CE,

∴AB+CD=AC.


【解析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OB=OE,從而求出OE=OD,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明;(2)利用“HL”證明△ABO和△AEO全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOB=∠AOE,同理求出∠COD=∠COE,然后求出∠AOC=90°,再根據(jù)垂直的定義即可證明;(3)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AE,CD=CE,然后證明即可.

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