Question

已知拋物線y=x²-（m+4）x+4m與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求證：此拋物線與x軸必有交點(diǎn)；
（2）當(dāng)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（設(shè)為A）時(shí)，求過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）當(dāng)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（設(shè)為A、B）時(shí)，如果△AOC與△BOC相似，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△=（m+4）²-16m=（m-4）²，即可得此拋物線與x軸必有交點(diǎn)；
（2）由與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（設(shè)為A）時(shí)，m=4，解析式為y=x²-8x+16，即可求得點(diǎn)A與C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（3）令y=0，則x²-（m+4）x+4m=0，得x₁=4，x₂=m，然后設(shè)A（4，0），B（m，0），C（0，4m），由△AOC與△BOC相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得或，再分別從m=0、m＞0與m＜0去分析，即可求得拋物線的解析．
解答：解：（1）證明：∵△=（m+4）²-16m=（m-4）²，
∴△≥0，
∴此拋物線與x軸必有交點(diǎn)；

（2）當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m=4，解析式為y=x²-8x+16，
∴A（4，0），C（0，16），
設(shè)直線AC為y=kx+16，
∴k=-4，即直線AC為y=-4x+16；

（3）令y=0，則x²-（m+4）x+4m=0，
得x₁=4，x₂=m，
設(shè)A（4，0），B（m，0），C（0，4m），
∵△AOC與△BOC相似，∠AOC=∠BOC=90°，
∴或，
①當(dāng)m=0時(shí)，△BOC不存在，所以不予考慮，
②當(dāng)m＞0時(shí)，AO=4，CO=4m，BO=m，則或，
得m=4或，
當(dāng)m=4時(shí)，A、B重合，舍去．
∴拋物線解析式為：y=x²-x+1，
③當(dāng)m＜0時(shí)，AO=4，CO=-4m，BO=-m，則或，
得m=-4或m=，
∴拋物線解析式為y=x²-16或y=x²-x-1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，判別式的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．