Question

已知拋物線y=x²-（m+4）x+4m與y軸交于點C．
（1）求證：此拋物線與x軸必有交點；
（2）當與x軸只有一個交點（設為A）時，求過A、C兩點的直線的解析式；
（3）當與x軸有兩個交點（設為A、B）時，如果△AOC與△BOC相似，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△=（m+4）²-16m=（m-4）²，即可得此拋物線與x軸必有交點；
（2）由與x軸只有一個交點（設為A）時，m=4，解析式為y=x²-8x+16，即可求得點A與C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得過A、C兩點的直線的解析式；
（3）令y=0，則x²-（m+4）x+4m=0，得x₁=4，x₂=m，然后設A（4，0），B（m，0），C（0，4m），由△AOC與△BOC相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得或，再分別從m=0、m＞0與m＜0去分析，即可求得拋物線的解析．
解答：解：（1）證明：∵△=（m+4）²-16m=（m-4）²，
∴△≥0，
∴此拋物線與x軸必有交點；

（2）當只有一個交點時，m=4，解析式為y=x²-8x+16，
∴A（4，0），C（0，16），
設直線AC為y=kx+16，
∴k=-4，即直線AC為y=-4x+16；

（3）令y=0，則x²-（m+4）x+4m=0，
得x₁=4，x₂=m，
設A（4，0），B（m，0），C（0，4m），
∵△AOC與△BOC相似，∠AOC=∠BOC=90°，
∴或，
①當m=0時，△BOC不存在，所以不予考慮，
②當m＞0時，AO=4，CO=4m，BO=m，則或，
得m=4或，
當m=4時，A、B重合，舍去．
∴拋物線解析式為：y=x²-x+1，
③當m＜0時，AO=4，CO=-4m，BO=-m，則或，
得m=-4或m=，
∴拋物線解析式為y=x²-16或y=x²-x-1．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，判別式的應用以及相似三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．