已知拋物線y=x2-(m+4)x+4m與y軸交于點C.
(1)求證:此拋物線與x軸必有交點;
(2)當與x軸只有一個交點(設為A)時,求過A、C兩點的直線的解析式;
(3)當與x軸有兩個交點(設為A、B)時,如果△AOC與△BOC相似,求此拋物線的解析式.
【答案】分析:(1)由△=(m+4)2-16m=(m-4)2,即可得此拋物線與x軸必有交點;
(2)由與x軸只有一個交點(設為A)時,m=4,解析式為y=x2-8x+16,即可求得點A與C的坐標,利用待定系數(shù)法即可求得過A、C兩點的直線的解析式;
(3)令y=0,則x2-(m+4)x+4m=0,得x1=4,x2=m,然后設A(4,0),B(m,0),C(0,4m),由△AOC與△BOC相似,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可得,再分別從m=0、m>0與m<0去分析,即可求得拋物線的解析.
解答:解:(1)證明:∵△=(m+4)2-16m=(m-4)2,
∴△≥0,
∴此拋物線與x軸必有交點;

(2)當只有一個交點時,m=4,解析式為y=x2-8x+16,
∴A(4,0),C(0,16),
設直線AC為y=kx+16,
∴k=-4,即直線AC為y=-4x+16;

(3)令y=0,則x2-(m+4)x+4m=0,
得x1=4,x2=m,
設A(4,0),B(m,0),C(0,4m),
∵△AOC與△BOC相似,∠AOC=∠BOC=90°,

①當m=0時,△BOC不存在,所以不予考慮,
②當m>0時,AO=4,CO=4m,BO=m,則,
得m=4或
當m=4時,A、B重合,舍去.
∴拋物線解析式為:y=x2-x+1,
③當m<0時,AO=4,CO=-4m,BO=-m,則,
得m=-4或m=,
∴拋物線解析式為y=x2-16或y=x2-x-1.
點評:此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,二次函數(shù)與一元二次方程的關系,判別式的應用以及相似三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強,解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用.
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