Question

（2007•臨夏州）在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙A的切線BC，交x軸于點(diǎn)B．
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上，與x軸的交點(diǎn)恰為點(diǎn)E、F，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷點(diǎn)C是否在拋物線上；
（4）在拋物線上是否存在三個(gè)點(diǎn)，由它構(gòu)成的三角形與△AOC相似？直接寫出兩組這樣的點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，由Rt△AOC∽R(shí)t△COB?，求得OB的長，即可得出確定B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可根據(jù)B、C坐標(biāo)用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式．
（2）根據(jù)圓心的坐標(biāo)及圓的半徑不難得出E、F的坐標(biāo)．根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性可知：拋物線頂點(diǎn)和圓心的橫坐標(biāo)必相等，據(jù)此可根據(jù)直線BC的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．然后根據(jù)E、F及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
（3）在（1）中已經(jīng)求得C點(diǎn)坐標(biāo)，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．
（4）在（1）中已經(jīng)求得∠OAC=60°，∠OCA=30°，如果連接CF，那么∠CFE=∠OAC=30°，由于E、F同在拋物線上，因此連接CE后，三角形CEF就與三角形OAC相似．那么C、E、F就是符合條件的點(diǎn)．而根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)和E、F組成的直角三角形也應(yīng)該符合條件．
解答：解：（1）方法一：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=．
又∵Rt△AOC∽R(shí)t△COB，
∴．
∴OB=6．
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-6，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
可求得直線BC的解析式為y=x+2．
方法二：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴∠ACO=30°，∠CAO=60°．
∴∠CBA=30°．
∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．
以下同證法一．

（2）由題意得，⊙A與x軸的交點(diǎn)分別為E（-2，0）、F（6，0），拋物線的對(duì)稱軸過點(diǎn)A為直線x=2．
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線BC上，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+，
∵拋物線過點(diǎn)E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+，
解得a=-．
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）²+，
即y=-x²+x+2．

（3）點(diǎn)C在拋物線上．因?yàn)閽佄锞�與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），如圖．

（4）存在，這三點(diǎn)分別是E、C、F與E、C′、F，C′的坐標(biāo)為（4，）．
即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如圖．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．