Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于點E，交BC于F．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）①若點E為OD的中點，則以O(shè)、A、C、E為頂點的四邊形是

 

；
②若點E為弧BC的中點，AB=4，BD=3，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）由AB是直徑得∠ACB=90°，則∠BAC+∠ABC=90°，加上∠CBD=∠BAC，則∠CBD+∠ABC=90°，即∠ABD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）①連結(jié)CE、BE，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由點E為OD的中點得到BE=OE=DE，則可判斷△OBE為等邊三角形，得到∠BOE=60°，利用OD∥AC得∠A=∠BOE=60°，又可判斷△OAC為等邊三角形，則∠ACO=60°，AC=AO，再利用AC∥OD得到∠ACO=∠COE=60°，可判斷△OCE為等邊三角形，則OE=CE，所以O(shè)A=OE=CE=AC，于是根據(jù)菱形的判定方法即可得到四邊形AOEC為菱形；
②根據(jù)垂徑定理，由點E為弧BC的中點得到OD⊥BC，則BF=CF，利用勾股定理計算出OD=

13

，再利用面積法計算出BF，然后利用BC=2BF進行計算．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠CBD=∠BAC，
∴∠CBD+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線；
（2）解：①連結(jié)CE、BE，如圖，
∵點E為OD的中點，
∴BE=OE=DE，
∵OB=OE，
∴△OBE為等邊三角形，
∴∠BOE=60°，
∵OD∥AC，
∴∠A=∠BOE=60°，
而OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=AO，
∵AC∥OD，
∴∠ACO=∠COE=60°，
∴△OCE為等邊三角形，
∴OE=CE，
∴OA=OE=CE=AC，
∴四邊形AOEC為菱形；
故答案為菱形；
②∵點E為弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∴BF=CF，
在Rt△OBD中，∵OB=2，BD=3，
∴OD=

OB2+BD2

=

13

，
∵

1

2

BF•OD=

1

2

OB•BD，
∴BF=

2×3

13

=

6 13

13

，
∴BC=2BF=

12 13

13

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定．