Question

已知二次函數(shù)y=mx²-（m-3）x-1．
（1）求證：不論m取何值，這個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)m=

9

2

時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；
（3）設(shè)第（2）題中拋物線的頂點(diǎn)為P，求△ABP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）證明判別式△＞0，即可解決問題．
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．
（3）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．

解答：解：（1）
△=[-（m-3）]²+4m
=m²-6m+9+4m
=（m-1）²+8，
∵（m-1）²≥0，8＞0，
∴△＞0，
∴不論m取何值，這個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（2））當(dāng)m=

9

2

時(shí)，y=

9

2

x2-

3

2

x-1，
當(dāng)y=0時(shí)，

9

2

x2-

3

2

x-1=0，
解得：x=-

1

3

或x=

2

3

，
∴AB=

2

3

-（-

1

3

）=1．
（3）拋物線y=

9

2

x2-

3

2

x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（λ，μ），
則λ=-

- 3 2

2× 9 2

=

1

6

，μ=

4× 9 2 ×(-1)-(- 3 2 )2

4× 9 2

=-

9

8

，
∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（

1

6

，-

9

8

），
∴△ABP的面積=

1

2

×1×

9

8

=

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用函數(shù)、方程等代數(shù)知識(shí)來分析、判斷、推理或解答．