Question

已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點(與A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B#C不重合)

(1)如圖，當PQ∥AC，且Q為BC的中點時，求線段CP的長；

(2)當PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 　　∴AB＝10； 　　∵Q是BC的中點， 　　∴CQ＝QB； 　　又∵PQ∥AC， 　　∴AP＝PB，即P是AB的中點， 　　∴Rt△ABC中，CP＝AB＝5．　　(2)當AC與PQ不平行時， 　　只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形． 　　以CQ為直徑作半圓D， 　�、佼敯雸AD與AB相切時，設切點為M，連接DM， 　　則DM⊥AB，且AC＝AM＝6， 　　∴MB＝AB－AM＝10－6＝4； 　　設CD＝x，則DM＝x，DB＝8－x； 　　在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2， 　　即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3， 　　∴CQ＝2x＝6； 　　即當CQ＝6且點P運動到切點M位置時， 　　△CPQ為直角三角形． 　�、诋�6＜CQ＜8時，半圓D與直線AB有兩個交點， 　　當點P運動到這兩個交點的位置時， 　　△CPQ為直角三角形 　�、郛�0＜CQ＜6時，半圓D與直線AB相離， 　　即點P在AB邊上運動時，均在半圓D外， 　　∠CPQ＜90°， 　　此時△CPQ不可能為直角三角形． 　　∴當6≤CQ＜8時，△CPQ可能為直角三角形．