Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線AB與⊙P相切，

如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB=10cm，

∵P為BC中點，

∴PB=4cm，

∵∠PDB=∠ACB=90°，

∠PBD=∠ABC，

∴△PBD∽△ABC，

∴ ，

即 ，

∴PD=2.4（cm），

當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm），

∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，

∴直線AB與⊙P相切

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB為△ABC的外接圓的直徑，

∴BO= AB=5cm，

連接OP，

∵P為BC中點，PO為△ABC的中位線，

∴PO= AC=3cm，

∵點P在⊙O內(nèi)部，

∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切，

∴當⊙P在⊙O內(nèi)部時：5﹣2t=3，

當⊙O在⊙P內(nèi)部時2t﹣5=3，

∴t=1或4，

∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．

【解析】（1）根據(jù)已知求出AB=10cm，進而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；（2）根據(jù)BO= AB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內(nèi)切，進而求出⊙P與⊙O相切時，t的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．