Question

如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，6），若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-，且△ABC的面積為33．
（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在y軸的正半軸上，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在直線(xiàn)BC上，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到直線(xiàn)AC的距離為5？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（0，6），
∴OC=6，
∴△ABC的面積=AB×6=33，
解得AB=11，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-，
∴--=-8，-+=3，
∴點(diǎn)A（-8，0），B（3，0），
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，
∴，
解得，
∴拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²-x+6；

（2）∵A（-8，0），
∴OA=8，
①OP和OA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△AOC∽△POB，
∴=，
即=，
解得OP=4，
②OP與OC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△AOC∽△BOP，
∴=，
即=，
解得OP=，
∵點(diǎn)P在y軸正半軸，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，）；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AC===10，
BC===3，
S_△ABC=AC•BD=×10•BD=33，
解得BD=，
∵點(diǎn)Q到直線(xiàn)AC的距離為5，
∴=，
即=，
解得CQ=，
過(guò)Q作QE⊥y軸，QE=CQ•sin∠OCB=×=，
CE=CQ•cos∠OCB=×=，
點(diǎn)Q在點(diǎn)C的下方時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為6-=，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），
點(diǎn)Q在點(diǎn)C的上方時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為6+=，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），
綜上所述，直線(xiàn)BC上存在點(diǎn)Q（，）或（，），使點(diǎn)Q到直線(xiàn)AC的距離為5．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求出OC的長(zhǎng)度，再根據(jù)△ABC的面積求出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）分OP和OA是對(duì)應(yīng)邊，OP與OC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OP的長(zhǎng)，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，利用勾股定理列式求出AC、BC，再利用△ABC的面積求出BD，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CQ的長(zhǎng)，過(guò)Q作QE⊥y軸，解直角三角形求出QE、CE，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)C的下方和上方兩種情況求出坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了三角形的面積，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，難點(diǎn)在于（2）（3）都要分情況討論．